3 Funciones cuadráticas


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1 3 Funciones cuadráticas 3.1 Transformaciones de funciones cuadráticas 3. Características de las funciones cuadráticas 3.3 Foco de una parábola 3. Representar con funciones cuadráticas CONSULTAR la Gran Idea Meteorólogo (pág. 19) Reflector parabólico que genera electricidad (pág. 13) Puente Gateshead Millennium (pág. 116) Fútbol (pág. 115) Canguro (pág. 15) Razonamiento matemático: Los estudiantes que dominan las matemáticas pueden usar las matemáticas que saben para resolver problemas que surgen en la vida cotidiana, la sociedad el lugar de trabajo.

2 Mantener el dominio de las matemáticas Hallar las intersecciones con el eje (A.3.C) Ejemplo 1 Halla la intersección con el eje de la gráfica de la ecuación lineal = 3 1. = 3 1 Escribe la ecuación. = 3 1 Sustitue por. 1 = 3 Suma 1 a cada lado. = Divide cada lado entre 3. La intersección con el eje es. Halla la intersección con el eje de la gráfica de la ecuación lineal. 1. = + 7. = = = 3( 5) 5. = ( + 1) = La fórmula de distancia (8.7.D) La distancia d entre dos puntos cualquiera ( 1, 1 ) (, ) está dada por la fórmula d = ( 1 ) + ( 1 ). Ejemplo Halla la distancia entre (1, ) ( 3, 6). Imagina que ( 1, 1 ) = (1, ) (, ) = ( 3, 6). d = ( 1 ) + ( 1 ) Escribe la fórmula de distancia. = ( 3 1) + (6 ) Sustitue. = ( ) + Simplifica. = 16 + Evalúa las potencias. = Suma..7 Usa una calculadora. Halla la distancia entre los dos puntos. 7. (, 5), (, 7) 8. ( 1, ), ( 8, ) 9. (3, 1), (5, 9) 1. (7, ), ( 5, ) 11. (, 8), (, ) 1. (, 9), ( 3, 6) 13. RAZONAMIENTO ABSTRACTO Utiliza la fórmula de distancia para escribir una epresión para la distancia entre los dos puntos (a, c) (b, c). Ha alguna manera más fácil de hallar la distancia cuando las coordenadas son iguales? Eplica tu razonamiento. Soluciones dinámicas disponibles en BigIdeasMath.com 97

3 Razonamiento matemático Usar la lógica correcta Concepto Esencial Razonamiento deductivo Los estudiantes que dominan las matemáticas muestran, eplican justifican ideas matemáticas argumentos utilizando lenguaje matemáticamente preciso en comunicaciones escritas orales. (A.1.G) En el razonamiento deductivo, comienzas con dos o más enunciados que sabes o presupones que son verdaderos. A partir de ellos, deduces o infi eres la veracidad de otro enunciado. He aquí un ejemplo. 1. Premisa: Si este tráfico no se soluciona, entonces llegaré tarde al trabajo.. Premisa: El tráfico no se ha solucionado. 3. Conclusión: Llegaré tarde al trabajo. Este patrón de razonamiento deductivo se llama silogismo. Reconocer razonamientos erróneos Los silogismos a continuación representan tipos comunes de razonamiento erróneo. Eplica por qué cada conclusión no es válida. a. Cuando llueve, el suelo se moja El suelo está mojado. Por lo tanto, debe haber llovido. c. La policía, las escuelas las carreteras son necesarias. Los impuestos financian a la policía, las escuelas las carreteras. Por lo tanto, los impuestos son necesarios. SOLUCIÓN b. Cuando llueve, el suelo se moja. No está lloviendo. Por lo tanto, el suelo no está mojado. d. Todos los estudiantes usan teléfonos celulares. Mi tío usa un teléfono celular. Por lo tanto, mi tío es estudiante. a. El suelo puede estar mojado por otra razón. b. El suelo podría estar mojado todavía cuando deje de llover. c. Los servicios se podrían financiar de otra manera. d. Ha personas que no son estudiantes que usan teléfonos celulares. Monitoreo del progreso Decide si el silogismo representa un razonamiento correcto o erróneo. Si el razonamiento es erróneo, eplica por qué la conclusión no es válida. 1. Todos los mamíferos son de sangre caliente. Todos los perros son mamíferos. Por lo tanto, todos los perros son de sangre caliente. 3. Si esto enfermo, entonces no iré a la escuela. No fui a la escuela. Por lo tanto, esto enfermo.. Todos los mamíferos son de sangre caliente. Mi mascota es de sangre caliente. Por lo tanto, mi mascota es un mamífero.. Si esto enfermo, entonces no iré a la escuela. No dejé de ir a la escuela. Por lo tanto, no esto enfermo. 98 Capítulo 3 Funciones cuadráticas

4 3.1 CONOCIMIENTOS Y APTITUDES ESENCIALES TEXAS Preparación para A..B Transformaciones de funciones cuadráticas Pregunta esencial Cómo afectan las constantes a, h k a la gráfica de la función cuadrática g() = a( h) + k? La función madre de la familia cuadrática es f() =. Una transformación de la gráfica de la función madre está representada en la función g() = a( h) + k, donde a. Identificar gráficas de funciones cuadráticas Trabaja con un compañero. Une cada función cuadrática con su gráfica. Eplica tu razonamiento. Luego usa una calculadora gráfica para verificar que tu respuesta es correcta. a. g() = ( ) b. g() = ( ) + c. g() = ( + ) d. g() =.5( ) e. g() = ( ) f. g() = ( + ) + A. B C. D E. F. ANALIZAR RELACIONES MATEMÁTICAS Para dominar las matemáticas, necesitas observar con atención para discernir un patrón o estructura. 6 Comunicar tu respuesta. Cómo afectan las constantes a, h, k a la gráfica de la función cuadrática g() = a( h) + k? Escribe la ecuación de la función cuadrática cua gráfica se muestra a la derecha. Eplica tu razonamiento. Luego, usa una calculadora gráfica para verificar que tu ecuación es correcta. 6 6 Sección 3.1 Transformaciones de funciones cuadráticas 99

5 3.1 Lección Qué aprenderás Vocabulario Esencial función cuadrática, pág. 1 parábola, pág. 1 vértice de una parábola, pág. 1 forma de vértice, pág. 1 Anterior transformaciones Describirás transformaciones de funciones cuadráticas. Escribirás transformaciones de funciones cuadráticas. Describir transformaciones de funciones cuadráticas Una función cuadrática es una función que se puede escribir en la forma f() = a( h) + k, donde a. A la gráfica en forma de U de una función cuadrática se le llama parábola. En la Sección 1., dibujaste las gráficas de funciones cuadráticas utilizando tablas de valores. También puedes hacer gráficas de funciones cuadráticas aplicando transformaciones a la gráfica de la función madre f() =. Concepto Esencial Traslaciones horizontales f() = f( h) = ( h) = ( h), h < = Traslaciones verticales f() = f() + k = + k = + k, k > = = ( h), h > se desplaza a la izquierda cuando h < se desplaza a la derecha cuando h > = + k, k < se desplaza hacia abajo cuando k < se desplaza hacia arriba cuando k > Traslaciones de una función cuadrática Describe la transformación de f() = representada en g() = ( + ) 1. Luego haz una gráfica de cada función. SOLUCIÓN Observa que la función es de la forma g() = ( h) + k. Reescribe la función para identificar h k. g() = ( ( )) + ( 1) h k Dado que h = k = 1, la gráfica de g es una traslación unidades a la izquierda 1 unidad hacia abajo de la gráfica de f. g 6 6 f Monitoreo del progreso Auda en inglés español en BigIdeasMath.com Describe la transformación de f() = representada por g. Luego, haz una gráfica de cada función. 1. g() = ( 3). g() = ( ) 3. g() = ( + 5) Capítulo 3 Funciones cuadráticas

6 Concepto Esencial Refleiones en el eje f() = f() = ( ) = = Refleiones en el eje f() = f( ) = ( ) = = = se invierte sobre el eje Alargamientos encogimientos horizontales f() = f(a) = (a) = (a), a > 1 = = es su propia refleión en el eje. Alargamientos encogimientos verticales f() = a f() = a = a, a > 1 = = (a), < a < 1 Alargamiento horizontal (alejándose del eje ) cuando < a < 1 encogimiento horizontal (acercándose al eje ) cuando a > 1 = a, < a < 1 Alargamiento vertical (alejándose del eje ) cuando a > 1 encogimiento vertical (acercándose al eje ) cuando < a < 1 Transformaciones de funciones cuadráticas ANALIZAR RELACIONES MATEMÁTICAS En el Ejemplo b, observa que g() = + 1. Entonces, también puedes describir la gráfica de g como un alargamiento vertical por un factor de seguido de una traslación 1 unidad hacia arriba de la gráfica de f. Describe la transformación de f() = representada por g. Luego, haz una gráfica de cada función. a. g() = 1 b. g() = () + 1 SOLUCIÓN a. Observa que la función es de la forma g() = a, donde a = 1. Entonces, la gráfica de g es una refleión en el eje un encogimiento vertical por un factor de 1 de la gráfica de f. f g b. Observa que la función es de la forma g() = (a) + k, donde a = k = 1. Entonces, la gráfica de g es un encogimiento horizontal por un factor de 1 seguida de una traslación 1 unidad hacia arriba de la gráfica de f. 6 g f Sección 3.1 Transformaciones de funciones cuadráticas 11

7 Monitoreo del progreso Auda en inglés español en BigIdeasMath.com Describe la transformación de f() = representada por g. Luego, haz una gráfica de cada función.. g() = ( 1 3 ) 5. g() = 3( 1) 6. g() = ( + 3) + Escribir transformaciones de funciones cuadráticas El punto más bajo en una parábola que se abre hacia arriba o el punto más alto en una parábola que se abre hacia abajo es el vértice. La forma de vértice de una función cuadrática es f() = a( h) + k, donde a el vértice es (h, k). a indica una refleión en el eje /o un alargamiento o encogimiento vertical. f() = a( h) + k h indica una traslación vertical. k indica una traslación horizontal. Escribir una función cuadrática transformada Imagina que la gráfica de g es un alargamiento vertical por un factor de una refleión en el eje, seguida de una traslación 3 unidades hacia abajo de la gráfica de f() =. Escribe una regla para g e identifica el vértice. SOLUCIÓN Método 1 Identifica cómo, en la forma de vértice, las constantes son afectadas por las transformaciones. refleión en el eje a = alargamiento vertical por Traslación 3 unidades hacia abajo} k = 3. Escribe la función transformada. g() = a( h) + k Forma de vértice de una función cuadrática = ( ) + ( 3) Sustitue por a, por h, 3 por k. = 3 Simplifica. La función transformada es g() = 3. El vértice es (, 3). Método Comienza con la función madre aplica las transformaciones una por una en el orden indicado. Primero escribe una función h que represente la refleión el alargamiento vertical de f. Verifica f h() = f() Multiplica la salida por. = Sustitue por f(). 5 5 Luego escribe una función g que represente la traslación de h. g g() = h() 3 Resta 3 de la salida. = 3 Sustitue por h(). La función transformada es g() = 3. El vértice es (, 3). 1 Capítulo 3 Funciones cuadráticas

8 Escribir una función cuadrática transformada RECUERDA Para multiplicar dos binomios, Utiliza el método FOIL Primeros Internos ( + 1)( + ) = Eternos Últimos Imagina que la gráfica de g es una traslación 3 unidades hacia la derecha unidades hacia arriba, seguida de una refleión en el eje de la gráfica de f() = 5. Escribe una regla para g. SOLUCIÓN Paso 1 Primero escribe una función h que represente la traslación de f. h() = f( 3) + Resta 3 de la entrada. Suma a la salida. = ( 3) 5( 3) + Reemplaza con 3 in f(). = Simplifica. Paso Luego escribe una función g que represente la refleión de h. g() = h( ) Multiplica la entrada por 1. = ( ) 11( ) + 6 Reemplaza con in h(). = Simplifica. 6 = X=5 Y= 3 8 Representar con matemáticas La altura h (en pies) del agua rociada desde una manguera contra incendios se puede representar mediante h() = , donde es la distancia horizontal (en pies) desde el camión de bomberos. Los bomberos elevan la escalera de manera tal que el agua llegue al suelo 1 pies más allá del camión de bomberos. Escribe una función que represente la nueva ruta del agua. SOLUCIÓN 1. Comprende el Problema Te dan una función que representa la ruta del agua que se rocía desde una manguera contra incendios. Te piden que escribas una función que represente la ruta del agua después de que el personal de bomberos eleve la escalera.. Haz un Plan Analiza la gráfica de la función para determinar la traslación de la escalera que ocasiona que el agua vaa 1 pies más allá. Luego escribe la función. 3. Resuelve el Problema Utiliza una calculadora gráfica para hacer una gráfica de la función original. Dado que h(5) =, el agua originalmente llega al suelo a 5 pies del camión de bomberos. El rango de la función en este conteto no inclue valores negativos. Sin embargo, al observar que h(6) = 3, puedes determinar que una traslación 3 unidades (pies) hacia arriba ocasiona que el agua vaa 1 pies más allá del camión de bomberos. g() = h() + 3 Suma 3 a la salida. = Sustitue por h() simplifica. La nueva ruta del agua se puede representar mediante g() = Verifícalo Para verificar que tu solución es correcta, verifica que g(6) =. g(6) =.3(6) = = Monitoreo del progreso Auda en inglés español en BigIdeasMath.com 7. Imagina que la gráfica de g es un encogimiento vertical por un factor de 1 seguida de una traslación unidades hacia arriba la gráfica de f() =. Escribe una regla para g e identifica el vértice. 8. Imagina que la gráfica de g es una traslación unidades a la izquierda seguida por un encogimiento horizontal por un factor de 1 3 de la gráfica de f() = +. Escribe una regla para g. 9. QUÉ PASA SI? En el Ejemplo 5, el agua llega al suelo 1 pies más cerca del camión de bomberos después de bajar la escalera. Escribe una función que represente la nueva ruta del agua. Sección 3.1 Transformaciones de funciones cuadráticas 13

9 3.1 Ejercicios Soluciones dinámicas disponibles en BigIdeasMath.com Verifi cación de vocabulario concepto esencial 1. COMPLETAR LA ORACIÓN La gráfica de una función cuadrática se llama un(a).. VOCABULARIO Identifica el vértice de la parábola dada por f() = ( + ). Monitoreo del progreso Representar con matemáticas En los Ejercicios 3 1, describe la transformación de f() = representada por g. Luego haz una gráfica de cada función. (Consulta el Ejemplo 1). 3. g() = 3. g() = g() = ( + ) 6. g() = ( ) 7. g() = ( 1) 8. g() = ( + 3) 9. g() = ( + 6) 1. g() = ( 9) g() = ( 7) g() = ( + 1) 3 ANALIZAR RELACIONES En los Ejercicios 13 16, une la función con la transformación correcta de la gráfica de f. Eplica tu razonamiento. 13. = f( 1) 1. = f() = f( 1) = f( + 1) 1 A. B. f En los Ejercicios 17, describe la transformación de f() = representada por g. Luego haz una gráfica de cada función. (Consulta el Ejemplo ). 17. g() = 18. g() = ( ) 19. g() = 3. g() = g() = (). g() = () 3. g() = 1 5. g() = 1 ( 1) ANÁLISIS DE ERRORES En los Ejercicios 5 6, describe corrige el error cometido al analizar la gráfica de f() = La gráfica es una refleión en el eje un alargamiento vertical por un factor de 6, seguida de una traslación unidades hacia arriba de la gráfica de la función cuadrática madre. La gráfica es una traslación unidades hacia abajo, seguida de un alargamiento vertical por un factor de 6 una refleión en el eje de la gráfica de la función cuadrática madre. C. D. USAR LA ESTRUCTURA En los Ejercicios 7 3, describe la transformación de la gráfica de la función cuadrática madre. Luego identifica el vértice. 7. f() = 3( + ) f() = ( + 1) 5 9. f() = f() = 1 ( 1) 1 Capítulo 3 Funciones cuadráticas

10 En los Ejercicios 31 3, escribe una regla para g descrita mediante las transformaciones la gráfica de f. Luego identifica el vértice. (Consulta los Ejemplos 3 ). 31. f() = ; alargamiento vertical por un factor de una refleión en el eje, seguida de una traslación unidades hacia arriba. 3. f() = ; encogimiento vertical por un factor de 1 3 una refleión en el eje, seguida de una traslación 3 unidades hacia la derecha 33. f() = 8 6; alargamiento horizontal por un factor de una traslación unidades hacia arriba, seguida de una refleión en el eje. 3. f() = ( + 6) + 3; encogimiento horizontal por un factor de 1 una traslación 1 unidad hacia abajo, seguida de una refleión en el eje. USAR HERRAMIENTAS En los Ejercicios 35, une la función con su gráfica. Eplica tu razonamiento. 35. g() = ( 1) 36. g() = 1 ( + 1) 37. g() = ( 1) g() = ( + 1) g() = ( + 1). g() = ( 1) + A. B. JUSTIFICAR LOS PASOS En los Ejercicios 1, justifica cada paso al escribir una función g basada en las transformaciones de f() = traslación 6 unidades hacia abajo seguida de una refleión en el eje. h() = f() 6 = g() = h() = ( + 6 6) = Refleión en el eje seguida de una traslación unidades hacia la derecha. h() = f( ) = ( ) + 6( ) = 6 g() = h( ) = ( ) 6( ) = REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS La función h() =.3( 1) + 6 representa el salto de un canguro rojo, donde es la distancia horizontal recorrida (en pies) h() es la altura (en pies). Cuando el canguro salta desde una ubicación más alta, aterriza 5 pies más lejos. Escribe una función que represente el segundo salto. (Consulta el Ejemplo 5). C. D. E. F.. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS La función f(t) = 16t + 1 representa la altura (en pies) de un objeto t segundos después de que se le deja caer desde una altura de 1 pies en la Tierra. El mismo objeto, dejado caer desde la misma altura en la Luna, está representado por g(t) = 8 3 t + 1. Describe la transformación la gráfica de f para obtener g. Desde qué altura se debe dejar caer el objeto en la Luna para que golpee al suelo al mismo tiempo que en la Tierra? Sección 3.1 Transformaciones de funciones cuadráticas 15

11 5. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS Los peces voladores usan sus aletas pectorales como alas de avión para planear por el aire. a. Escribe una ecuación de la forma = a( h) + k con el vértice (33, 5) que representa la ruta de vuelo, asumiendo que el pez sale del agua en (, ). b. Cuál es el dominio el rango de la función? Qué representan en esta situación? c. El valor de a cambia cuando la ruta de vuelo tiene el vértice (3, )? Justifica tu respuesta. 7. COMPARAR MÉTODOS Imagina que la gráfica de g es una traslación 3 unidades hacia arriba 1 unidad hacia la derecha seguida de un alargamiento vertical por un factor de la gráfica de f() =. a. Identifica los valores de a, h k usa la forma de vértice para escribir la función transformada. b. Utiliza la notación de función para escribir la función transformada. Compara esta función con tu función en la parte (a). c. Supón que el alargamiento vertical se llevó a cabo primero, seguido de las traslaciones. Repite las partes (a) (b). d. Cuál método prefieres al escribir una función transformada? Eplica. 6. CÓMO LO VES? Describe la gráfica de g como una transformación la gráfica de f() =. g 6 f 8. ESTIMULAR EL PENSAMIENTO Un salto en un palo de pogo con un resorte convencional se puede representar mediante f() =.5( 6) + 18, donde es la distancia horizontal (en pulgadas) f() es la distancia vertical (en pulgadas). Escribe por lo menos una transformación de la función proporciona una razón posible para tu transformación. 9. CONEXIONES MATEMÁTICAS El área de un círculo depende del radio, como se muestra en la gráfica. Un pendiente circular con un radio de r milímetros tiene un agujero circular con un radio de 3r. Describe una transformación de la gráfica de abajo que represente el área de la parte azul del pendiente. 6 Área (unidades cuadradas) 3 1 A Círculo A = πr 1 3 r Radio (pies) Mantener el dominio de las matemáticas Repasar lo que aprendiste en grados lecciones anteriores En rojo se muestra un eje de simetría para la figura. Halla las coordenadas del punto A. (Manual de revisión de destrezas) 5. (, 3) = (, ) A 5. A = A = (, ) 16 Capítulo 3 Funciones cuadráticas

12 3. CONOCIMIENTOS Y APTITUDES ESENCIALES TEXAS Preparación para A..B Características de las funciones cuadráticas Pregunta esencial Qué tipo de simetría tiene la gráfica de f() = a( h) + k cómo puedes describir esta simetría? Parábolas simetría Trabaja con un compañero. a. Completa la tabla. Luego utiliza los valores en la tabla para hacer la gráfica de la función 6 f() = 1 en papel cuadriculado f() f() USAR LENGUAJE MATEMÁTICO PRECISO Para dominar las matemáticas, necesitas usar definiciones claras en tu razonamiento en tus discusiones con otras personas. b. Utiliza los resultados en la parte (a) para identificar el vértice de la parábola. c. Halla una recta vertical en tu papel cuadriculado, de manera que cuando dobles el papel, la porción izquierda de la gráfica coincida con la porción derecha de la gráfica. Cuál es la ecuación de esta recta? Cómo se relaciona con el vértice? d. Muestra que la forma de vértice f() = 1 ( ) es equivalente a la función dada en la parte (a). Parábolas simetría Trabaja con un compañero. Repite la Eploración 1 para la función dada por f() = = 1 3 ( 3) + 6. Comunicar tu respuesta 6 3. Qué tipo de simetría tiene la gráfica de la parábola f() = a( h) + k cómo puedes describir esta simetría? Describe la simetría de cada gráfica. Luego usa una calculadora gráfica para verificar tu respuesta. a. f() = ( 1) + b. f() = ( + 1) c. f() = ( 3) + 1 d. f() = 1 ( + ) e. f() = + 3 f. f() = 3( 5) + Sección 3. Características de las funciones cuadráticas 17

13 3. Lección Qué aprenderás Vocabulario Esencial eje de simetría, pág. 18 forma estándar, pág. 18 valor mínimo, pág. 11 valor máimo, pág. 11 forma de intersección, pág. 111 Anterior intersección con el eje Eplorarás las propiedades de las parábolas. Hallarás los valores máimos mínimos de funciones cuadráticas. Harás gráficas de funciones cuadráticas usando las intersecciones con el eje. Resolverás problemas de la vida real. Eplorar las propiedades de las parábolas Un eje de simetría es una recta que divide una parábola en imágenes especulares pasa por el vértice. Dado que el vértice de f() = a( h) + k es (h, k), el eje de simetría es la recta vertical = h. Anteriormente, usaste transformaciones para hacer gráficas de funciones cuadráticas en forma de vértice. También puedes usar el eje de simetría el vértice para hacer gráficas de funciones cuadráticas escritas en forma de vértice. Usar la simetría para hacer gráficas de funciones cuadráticas Haz una gráfica de f() = ( + 3) +. Rotula el vértice el eje de simetría. (h, k) = h SOLUCIÓN Paso 1 Identifica las constantes a =, h = 3 k =. Paso Marca el vértice (h, k) = ( 3, ) dibuja el eje de simetría = 3. Paso 3 Evalúa la función para dos valores de. = : f( ) = ( + 3) + = = 1: f( 1) = ( 1 + 3) + = Marca los puntos (, ), ( 1, ), sus refleiones en el eje de simetría. Paso Dibuja una parábola a través de los puntos marcados. ( 3, ) 6 = 3 Las funciones cuadráticas también se pueden escribir en forma estándar, f() = a + b + c, donde a. Puedes derivar la forma estándar al desarrollar la forma de vértice. f() = a( h) + k Forma de vértice f() = a( h + h ) + k Desarrolla ( h). f() = a ah + ah + k f() = a + ( ah) + (ah + k) Propiedad distributiva Agrupa los términos semejantes. f() = a + b + c Imagina que b = ah que c = ah + k. Esto te permite hacer las siguientes observaciones. a = a: Entonces, a tiene el mismo significado en forma de vértice en forma estándar. b = ah: Resuelve para hallar h para obtener h = b. Entonces, el eje de a simetría es = b a. c = ah + k: En forma de vértice f() = a( h) + k, observa que f() = ah + k. Entonces, c es la intersección con el eje. 18 Capítulo 3 Funciones cuadráticas

14 Concepto Esencial Propiedades de la gráfica de f() = a + b + c = a + b + c, a > = a + b + c, a < (, c) = b a b = a (, c) La parábola se abre hacia arriba cuando a > se abre hacia abajo cuando a <. La gráfica es más angosta que la gráfica de f() = cuando a > 1 más ancha cuando a < 1. El eje de simetría es = b a ( el vértice es b a (, f a) b ). La intersección con el eje es c. Entonces, el punto (, c) está en la parábola. Hacer una gráfica de una función cuadrática en forma estándar Haz una gráfica de f() = Rotula el vértice el eje de simetría. ERROR COMÚN Asegúrate de incluir el signo negativo al escribir la epresión para la coordenada del vértice. SOLUCIÓN Paso 1 Identifica los coeficientes a = 3, b = 6, c = 1. Dado que a >, la parábola se abre hacia arriba. Paso Halla el vértice. Primero calcula la coordenada. = b a = 6 (3) = 1 Luego halla la coordenada del vértice. f(1) = 3(1) 6(1) + 1 = Entonces, el vértice es (1, ). Marca este punto. Paso 3 Dibuja el eje de simetría = 1. Paso Identifica la intersección con el eje c, que es 1. Marca el punto (, 1) su refleión en el eje de simetría, (, 1). Paso 5 Evalúa la función para otro valor de, como = 3. f(3) = 3(3) 6(3) + 1 = 1 Marca el punto (3, 1) su refleión en el eje de simetría, ( 1, 1). Paso 6 Dibuja una parábola pasando a través de los puntos marcados. (1, )) = 1 Monitoreo del progreso Auda en inglés español en BigIdeasMath.com Haz una gráfica de la función. Rotula el vértice el eje de simetría. 1. f() = 3( + 1). g() = ( ) h() = + 1. p() = Sección 3. Características de las funciones cuadráticas 19

15 CONSEJO DE ESTUDIO Cuando una función f se escribe en forma de vértice, puedes usar h = b a k = f ( a) b para enunciar las propiedades mostradas. Hallar los valores máimos mínimos Dado que el vértice es el punto más alto o más bajo de una parábola, su coordenada es el valor máimo o el valor mínimo de la función. El vértice ace en el eje de simetría, Entonces la función está ascendiendo a un lado del eje de simetría descendiendo al otro lado. Concepto Esencial Valores mínimos máimos Para la función cuadrática f() = a + b + c, la coordenada del vértice es el valor mínimo de la función cuando a > es el valor máimo cuando a <. a > a < descendente mínimo = b a Valor mínimo: f ( a) b ascendente Dominio: Todos los números reales Rango: f ( a) b Descendente hacia la izquierda de = b a Ascendente hacia la derecha de = b a ascendente = b a máimo Valor máimo: f ( a) b descendente Dominio: Todos los números reales Rango: f ( a) b Ascendente hacia la izquierda de = b a Descendente hacia la derecha de = b a Verifica 1 1 mínimo X= Y= Hallar un valor mínimo o máimo Halla el valor mínimo o el valor máimo de f() = 1 1. Describe el dominio el rango de la función dónde la función es ascendente o descendente. SOLUCIÓN Identifica los coeficientes a = 1, b =, c = 1. Dado que a >, la parábola se abre hacia arriba la función tiene un valor mínimo. Para hallar el valor mínimo, calcula las coordenadas del vértice. = b a = ( 1 ) = f() = 1 () () 1 = 3 El valor mínimo es 3. Entonces, el dominio son todos números reales el rango es { 3}. La función es descendente a la izquierda de = ascendente a la derecha de =. Monitoreo del progreso Auda en inglés español en BigIdeasMath.com 5. Escribe el valor mínimo o el valor máimo de (a) f() = (b) h() = Describe el dominio el rango de cada función, dónde cada función es ascendente descendente. 11 Capítulo 3 Funciones cuadráticas

16 RECUERDA La intersección con el eje de una gráfica es la coordenada de un punto donde la gráfica se interseca con el eje. Ocurre donde f() =. ERROR COMÚN Recuerda que las intersecciones con el eje de la gráfica de f() = a( p)( q) son p q, no p q. Hacer gráficas de funciones cuadráticas usando las intersecciones con el eje Cuando la gráfica de una función cuadrática tiene por lo menos una intersección con el eje, la función se puede escribir en forma de intersección, f() = a( p)( q), donde a. Concepto Esencial Propiedades de la gráfica de f() = a( p)( q) Dado que f( p) = f(q) =, p q son las intersecciones con el eje de la gráfica de la función. El eje de simetría está a medio camino entre ( p, ) (q, ). Entonces, el eje de simetría es = p + q. La parábola se abre hacia arriba cuando a > se abre hacia abajo cuando a <. Hacer una gráfica de una función cuadrática en forma de intersección Haz una gráfica de f() = ( + 3)( 1). Rotula las intersecciones con el eje, el vértice el eje de simetría. SOLUCIÓN Paso 1 Identifica las intersecciones con el eje. Las intersecciones con el eje son p = 3 q = 1, ( 1, 8) Entonces la parábola pasa por los puntos ( 3, ) (1, ). Paso Halla las coordenadas del vértice. = p + q = = 1 6 f( 1) = ( 1 + 3)( 1 1) = 8 ( 3, ) (1, ) Entonces, el eje de simetría es = 1 el vértice es ( 1, 8). = 1 Paso 3 Dibuja una parábola que pase por el vértice los puntos donde ocurren las intersecciones con el eje. (p, ) = p + q = a( p)( q) (q, ) Verifica Puedes verificar tu respuesta generando una tabla de valores para f en una calculadora gráfica. intersección con el eje intersección con el eje X X=-1 Y Los valores muestran simetría alrededor de = 1. Entonces, el vértice es ( 1, 8). Monitoreo del progreso Auda en inglés español en BigIdeasMath.com Haz una gráfica de la función. Rotula las intersecciones con el eje, el vértice el eje de simetría. 6. f() = ( + 1)( + 5) 7. g() = 1 ( 6)( ) Sección 3. Características de las funciones cuadráticas 111

17 Resolver problemas de la vida real Representar con matemáticas (5, 5) La parábola muestra la traectoria de tu primer tiro de golf, donde es la distancia horizontal (en ardas) es la altura correspondiente (en ardas). La traectoria de tu segundo tiro se puede representar mediante la función f() =.( 8). Qué tiro recorre maor distancia antes de llegar al suelo? Cuál tiene una traectoria más alta? SOLUCIÓN (, ) (1, ) 1. Comprende el Problema Te dan una gráfica una función que representa las traectorias de dos tiros de golf. Te piden que determines qué tiro recorre una maor distancia antes de llegar al suelo qué tiro tiene una traectoria más alta.. Haz un Plan Determina cuán lejos llega cada tiro interpretando las intersecciones del eje. Determina cuán alto llega cada tiro hallando el valor máimo de cada función. Luego, compara los valores. 3. Resuelve el Problema Primer tiro: La gráfica muestra que las intersecciones con el eje son 1. Entonces, la pelota recorre 1 ardas antes de llegar al suelo. 5 d 1 d Dado que el eje de simetría está a medio camino entre (, ) (1, ), el eje de simetría es = + 1 = 5. Entonces, el vértice es (5, 5) la altura máima es 5 ardas. Al reescribir la función en forma de intersección como f() =.( )( 8), puedes ver que p = q = 8. Entonces, la bola recorre 8 ardas antes de llegar al suelo. Para hallar la altura máima, halla las coordenadas del vértice. Segundo tiro: = p + q = + 8 = f() =.()( 8) = 3 La altura máima del segundo tiro es 3 ardas. = 5 f 9 Dado que 1 ardas > 8 ardas, el primer tiro recorre maor distancia. Dado que 3 ardas > 5 ardas, el segundo tiro es de maor altura.. Verifícalo Para verificar que el segundo tiro es de maor altura, haz una gráfica de la función que represente la traectoria del segundo tiro la recta = 5, que representa la altura máima del primer tiro. El gráfica se eleva por encima de = 5, Entonces el segundo tiro es de maor altura. Monitoreo del progreso Auda en inglés español en BigIdeasMath.com 8. QUÉ PASA SI? La gráfica de tu tercer tiro es una parábola que pasa por el origen que alcanza una altura máima de 8 ardas cuando = 5. Compara la distancia que recorre antes de llegar al suelo con las distancias de los dos primeros tiros. 11 Capítulo 3 Funciones cuadráticas

18 3. Ejercicios Soluciones dinámicas disponibles en BigIdeasMath.com Verifi cación de vocabulario concepto esencial 1. ESCRIBIR Eplica cómo determinar si una función cuadrática tendrá un valor mínimo o un valor máimo.. CUÁL NO CORRESPONDE? La gráfica de cuál función no corresponde al grupo de las otras tres? Eplica. f() = f() = f() = 3( )( + ) f() = 3( + 1) 7 Monitoreo del progreso Representar con matemáticas En los Ejercicios 3 1, haz una gráfica de la función. Rotula el vértice el eje de simetría. (Consulta el Ejemplo 1). 3. f() = ( 3). h() = ( + ) 5. g() = ( + 3) = ( 7) 1 7. = ( ) + 8. g() = ( + 1) 3 9. f() = ( 1) 5 1. h() = ( + ) + 6 RAZONAR En los Ejercicios 19, usa el eje de simetría para marcar la refleión de cada punto completar la parábola (, 3) 1 (1, ) (, 1) =. = 3 ( 1, 1) 6 (, ) ( 3, 3) 11. = 1 ( + ) = 1 ( 3) f() =.( 1) 1. g() =.75 5 ANALIZAR RELACIONES En los Ejercicios 15 18, usa el eje de simetría para unir la ecuación con su gráfica. 15. = ( 3) = ( + ) 17. = 1 ( + 1) = ( ) 1 A. C. 6 = B. D. = 1 6 En los Ejercicios 1 3, haz una gráfica de la función. Indica el vértice el eje de simetría. (Consulta el Ejemplo ). 1. = = = f() = g() = 1 6. f() = g() = f() = = = ESCRIBIR Dos funciones cuadráticas tienen gráficas con vértices (, ) (, 3). Eplica por qué no puedes usar los ejes de simetría para distinguir entre ambas funciones. = 3 6 = 3. ESCRIBIR Una función cuadrática es ascendente a la izquierda de = descendente a la derecha de =. El vértice será el punto más alto o más bajo en la gráfica de la parábola? Eplica. Sección 3. Características de las funciones cuadráticas 113

19 ANÁLISIS DE ERRORES En los Ejercicios 33 3, describe corrige el error cometido al analizar la gráfica de = La coordenada del vértice es = b a = () = 3. En los Ejercicios 39 8, halla el valor mínimo o máimo de la función. Describe el dominio el rango de la función dónde la función es ascendente descendente. (Consulta el Ejemplo 3). 39. = 6 1. = =. g() = La intersección con el eje de la gráfica es el valor de c, que es f() = g() = h() = 1 6. h() = REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS En los Ejercicios 35 36, es la distancia horizontal (en pies) e es la distancia vertical (en pies). Halla e interpreta las coordenadas del vértice. 35. La traectoria de una pelota de baloncesto lanzada a un ángulo de 5 se puede representar mediante = La traectoria de un tiro de bala a un ángulo de 35 se puede representar mediante = = f() = RESOLVER PROBLEMAS La traectoria de un clavadista se representa mediante la función f() = , donde f() es la altura del clavadista (en metros) sobre el agua es la distancia horizontal (en metros) desde el etremo del trampolín. a. Cuál es la altura del trampolín? b. Cuál es la altura máima del clavadista? c. Describe dónde el clavadista está ascendiendo dónde está descendiendo ANALIZAR ECUACIONES La gráfica de cuál función tiene el mismo eje de simetría que la gráfica de = + +? A = + + B = C = + D = USAR LA ESTRUCTURA Cuál función representa la parábola con la gráfica más ancha? Eplica tu razonamiento. A = ( + 3) B = 5 C =.5( 1) + 1 D = RESOLVER PROBLEMAS El esfuerzo de torsión de motor (en pies pulgadas) de un modelo de automóvil está dado por = , donde es la velocidad del motor (en miles de revoluciones por minuto). a. Halla la velocidad de motor que maimice el esfuerzo de torsión. Cuál es el esfuerzo de torsión máimo? b. Eplica qué pasa con el esfuerzo de torsión del motor al aumentar la velocidad del motor. CONEXIONES MATEMÁTICAS En los Ejercicios 51 5, escribe una ecuación para el área de la figura. Luego determina el área máima posible de la figura w b 11 Capítulo 3 Funciones cuadráticas w 6 b

20 En los Ejercicios 53 6, haz una gráfica de la función. Rotula la intersección (o intersecciones) con el eje, el vértice el eje de simetría. (Consulta el Ejemplo ). 53. = ( + 3)( 3) 5. = ( + 1)( 3) 55. = 3( + )( + 6) 56. f() = ( 5)( 1) 57. g() = ( + 6) 58. = ( + 7) 59. f() = ( 3) 6. = ( 7) 68. FINAL ABIERTO Escribe dos funciones cuadráticas diferentes en forma de intersección cuas gráficas tengan el eje de simetría = RESOLVER PROBLEMAS Una tienda de música en línea vende aproimadamente canciones cada día cuando cobra $1 por canción. Por cada aumento de precio de $.5, se venden aproimadamente 8 canciones menos por día. Usa el modelo verbal la función cuadrática para determinar cuánto debe cobrar por canción la tienda para maimizar los ingresos diarios. USAR HERRAMIENTAS En los Ejercicios 61 6, identifica las intersecciones con el eje de la función describe dónde la gráfica es ascendente descendente. Utiliza una calculadora gráfica para verificar tu respuesta. Ingresos (dólares) = Precio (dólares/canción) R() = (1 +.5) Ventas (canciónes) ( 8) 61. f() = 1 ( )( + 6) 6. = 3 ( + 1)( 3) 63. g() = ( )( ) 6. h() = 5( + 5)( + 1) 65. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS Un jugador de fútbol patea la pelota en dirección al arco contrario. La altura de la pelota aumenta hasta que alcanza una altura máima de 8 ardas, alejada ardas del jugador. Una segunda patada está representada por = (..8). Cuál patada hace que la pelota vaa más lejos antes de tocar el suelo? Cuál patada alcanza más altura? (Consulta el Ejemplo 5). 66. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS Aunque un campo de fútbol parece ser plano, algunos en realidad tiene forma de parábola para que la lluvia se escurra hacia ambos lados. El corte transversal de un campo se puede representar mediante =.3( 16), donde se miden en pies. Cuál es el ancho del campo? Cuál es la altura máima de la superficie del campo? 7. RESOLVER PROBLEMAS Una tienda de artículos electrónicos vende 7 cámaras digitales por mes, a un precio de $3 cada una. Por cada reducción de $ en el precio, se venden aproimadamente 5 cámaras más. Usa el modelo verbal la función cuadrática para determinar cuánto debería cobrar por cámara la tienda para maimizar los ingresos mensuales. Ingresos (dólares) = Precio (dólares/cámara) Ventas (cámaras) R() = (3 ) (7 + 5) 71. SACAR CONCLUSIONES Compara la gráficas de las tres funciones cuadráticas. Qué observas? Reescribe las funciones f g en forma estándar para justificar tu respuesta. f() = ( + 3)( + 1) g() = ( + ) 1 h() = USAR LA ESTRUCTURA Escribe la función cuadrática f() = + 1 en forma de intersección. Haz una gráfica de la función. Rotula las intersecciones con el eje, la intersección con el eje, el vértice el eje de simetría. superficie del campo de fútbol Dibujo no hecho a escala 73. RESOLVER PROBLEMAS Un ratón saltador de los bosques salta con una traectoria parabólica dada por = , donde es la distancia horizontal (en pies) recorrida por el ratón es la altura correspondiente (en pies). Puede el ratón saltar una cerca de 3 pies de altura? Justifica tu respuesta. 67. RAZONAR Los puntos (, 3) (, ) están en la gráfica de una función cuadrática. Determina si puedes usar estos puntos para hallar el eje de simetría. Si no es así, eplica. Si puedes usarlos, escribe la ecuación del eje de simetría. Dibujo no hecho a escala Sección 3. Características de las funciones cuadráticas 115

21 7. CÓMO LO VES? Considera la gráfica de la función f() = a( p)( q). 77. ARGUMENTAR El punto (1, 5) ace en la gráfica de una función cuadrática con eje de simetría = 1. Tu amigo dice que el vértice podría ser el punto (, 5) Lo que dice tu amigo es correcto? Eplica. 78. PENSAMIENTO CRÍTICO Halla la intersección del eje en términos de a, p, q para la función cuadrática f() = a( p)( q). a. Qué representa f ( p + q ) en la gráfica? b. Si a <, De qué manera cambia tu respuesta en la parte (a)? Eplica. 75. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS El puente Gateshead Millennium cruza el río Tne. El arco del puente se puede representar mediante una parábola. El arco alcanza una altura máima de 5 metros en un punto aproimadamente a 63 metros cruzando el río. Haz una gráfica de la curva del arco. Cuál es el dominio el rango? Qué representan en esta situación? 79. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS Un grano de palomitas de maíz contiene agua que se epande cuando el grano se calienta, lo que ocasiona que reviente. Las ecuaciones a continuación representan el volumen al reventar (en centímetros cúbicos por gramo) de palomitas de maíz con contenido de humedad (como porcentaje del peso de las palomitas de maíz). Cuando las palomitas revientan con aire caliente: =.761( 5.5)(.6) Cuando las palomitas revientan con aceite caliente: =.65( 5.35)( 1.8) 76. ESTIMULAR EL PENSAMIENTO Tienes 1 pies de valla para cercar un jardín rectangular. Dibuja tres diseños posibles para el jardín. De estos, Cuál tiene el área más grande? Haz una conjetura acerca de las dimensiones del jardín rectangular con la maor área posible. Eplica tu razonamiento. Mantener el dominio de las matemáticas Resuelve la ecuación literal para. (Manual de revisión de destrezas) 81. = = = 8. 5 = Resuelve la proporción. (Manual de revisión de destrezas) a. Cuando revienta con aire caliente, qué contenido de humedad maimiza el volumen al reventar? Cuál es el volumen máimo? b. Cuando revienta con aceite caliente, qué contenido de humedad maimiza el volumen al reventar? Cuál es el volumen máimo? c. Utiliza una calculadora gráfica para hacer una gráfica de ambas funciones en el mismo plano de coordenadas. Cuál es el dominio el rango de cada función en esta situación? Eplica. 8. RAZONAMIENTO ABSTRACTO Se escribe una función en forma de intersección con a >. Qué sucede con el vértice de la gráfica cuando a aumenta? Y cuando a se acerca a? Repasar lo que aprendiste en grados lecciones anteriores = = = = 116 Capítulo 3 Funciones cuadráticas

22 Qué aprendiste? Vocabulario Esencial función cuadrática, pág. 1 forma estándar, pág. 18 parábola, pág. 1 valor mínimo, pág. 11 vértice de una parábola, pág. 1 valor máimo, pág. 11 forma de vértice, pág. 1 forma de intersección, pág. 111 eje de simetría, pág. 18 Conceptos Esenciales Sección 3.1 Traslaciones horizontales, pág. 1 Refleiones en el eje, pág. 11 Traslaciones verticales, pág. 1 Alargamientos encogimientos horizontales, pág. 11 Refleiones en el eje, pág. 11 Alargamientos encogimientos verticales, pág. 11 Sección 3. Propiedades de la gráfica de f() = a + b + c, Propiedades de la gráfica de f() = a( p)( q), pág. 19 pág. 111 Valores máimos mínimos, pág. 11 Razonamiento matemático 1. Por qué la altura que hallaste en el Ejercicio de la página 15 tiene sentido en el conteto de la situación?. Cómo puedes comunicar en forma efectiva qué métodos prefieres a otras personas en el Ejercicio 7 de la página 16? 3. Cómo puedes usar la tecnología para profundizar tu comprensión de los conceptos del Ejercicio 79 en la página 116? Destrezas de estudio Usar las caracteristicas del libro de teto para prepararse para pruebas eamenes Lee comprende el vocabulario principal el contenido de los recuadros de Conceptos Principales. Revisa los ejemplos las preguntas de Monitoreo de Progreso. Usa las guías de BigIdeasMath.com para obtener auda adicional. Revisa las tareas asignadas resueltas anteriormente. ` 117

23 Prueba Describe la transformación de f() = representada por g. (Sección 3.1) 1. f g. 6 g f 3. g f Escribe una regla para g e identifica el vértice. (Sección 3.1). Imagina que g es una traslación unidades hacia arriba seguida de una refleión en el eje un alargamientovertical por un factor de 6 de la gráfica de f() =. 5. Imagina que g es una traslación 1 unidad hacia la izquierda 6 unidades hacia abajo, seguida de un encogimiento vertical por un factor de 1 de la gráfica de f() = 3( + ). 6. Imagina que g es un encogimiento horizontal por un factor de 1 seguida de una traslación 1 unidad hacia arriba 3 unidades hacia la derecha de la gráfica de f() = ( + 1) 11. Haz una gráfica de la función. Rotula el vértice el eje de simetría. (Sección 3.) 7. f() = ( 1) 5 8. h() = f() = 7 8 Halla las intersecciones con el eje de la gráfica de la función. Luego describe dónde la función es ascendente descendente. (Sección 3.) 1. g() = 3( + )( + ) 11. g() = 1 ( 5)( + 1) 1. f() =.( 6) 13. Un saltamontes puede saltar distancias increíbles, hasta veces su longitud. La altura (en pulgadas) del salto sobre el suelo de un saltamontes de 1 pulgada de largo está dada por h() = 1 +, donde es la distancia horizontal (en pulgadas) del salto. Cuando el saltamontes salta desde una roca, aterriza en el suelo pulgadas más allá. Escribe una función que represente la nueva traectoria del salto. (Sección 3.1) (, ) (, ) Dibujo no hecho a escala 1. Un pasajero en un bote salvavidas a la deriva, dispara al aire una bengala de emergencia. La altura (en pies) de la bengala sobre el agua está dada por f(t) = 16t(t 8), donde t es el tiempo (en segundos) desde que se disparó la bengala. El pasajero dispara una segunda bengala, cua traectoria está representada en el gráfica. Cuál bengala llega más alto? Cuál permanece en el aire por más tiempo? Justifica tu respuesta. (Sección 3.) (3.5, 196) (, ) (7, ) 118 Capítulo 3 Funciones cuadráticas

24 3.3 CONOCIMIENTOS Y APTITUDES ESENCIALES TEXAS A..B Foco de una parábola Pregunta esencial Qué es el foco de una parábola? Analizar antenas parabólicas Trabaja con un compañero. Los raos verticales entran en una antena parabólica cuo corte transversal es una parábola. Cuando los raos impactan en la parábola, se reflejan en el mismo ángulo en el que entraron. (Ver Rao 1 en la figura.) a. Dibuja los raos reflejados de manera que intersequen el eje. b. Qué tienen en común los raos reflejados? c. La ubicación óptima para el receptor de la antena parabólica está en un punto llamado el foco de la parábola. Determina la ubicación del foco. Eplica por qué esto tiene sentido en esta situación. Rao Rao Rao CONSTRUIR ARGUMENTOS MATEMÁTICOS Para dominar las matemáticas, necesitas hacer conjeturas construir progresiones lógicas de enunciados para eplorar si tus conjeturas son verdaderas. ángulo de entrada ángulo de salida 1 1 = 1 1 Analizar reflectores Trabaja con un compañero. Salen haces de luz de la bombilla en un reflector, ubicada en el foco de la parábola. Cuando los haces impactan la parábola, estos se reflejan en el mismo ángulo en el que impactaron. (Ver el Haz 1 en la figura.) Dibuja los haces reflejados. Qué tienen en común? Considerarías que éste es el resultado óptimo? Eplica. ángulo de salida haz de luz 1 = 1 bombilla ángulo de entrada haz de luz 1 haz 1 de luz Comunicar tu respuesta 3. Qué es el foco de una parábola?. Describe algunas de las propiedades del foco de una parábola. Sección 3.3 Foco de una parábola 119

25 3.3 Lección Qué aprenderás Vocabulario Esencial foco, pág. 1 directriz, pág. 1 Anterior perpendicular fórmula de distancia congruente CONSEJO DE ESTUDIO La distancia de un punto a una recta se define como la longitud del segmento perpendicular del punto a la recta. Eplorarás el foco la directriz de una parábola. Escribirás ecuaciones de parábolas. Resolverás problemas de la vida real. Eplorar el foco la directriz Anteriormente, aprendiste que la gráfica de una función cuadrática es una parábola que se abre hacia arriba o hacia abajo. Una parábola también se puede definir como el conjunto de todos los puntos (, ) en un plano que son equidistantes de un punto fijo llamado foco una recta fija llamada directriz. El foco está en el interior de la parábola ace en el eje de simetría. El vértice está a medio camino entre el foco la directriz. eje de simetría La directriz es perpendicular al eje de simetría. Usar la fórmula de distancia para escribir una ecuación Utiliza la Fórmula de distancia para escribir una ecuación de la parábola con foco F(, ) directriz =. SOLUCIÓN Observa los segmentos de recta dibujados desde el punto F hasta el punto P desde el punto P hasta el punto D. Según la definición de una parábola, estos segmentos de recta deben ser congruentes. F(, ) = D(, ) P(, ) PD = PF Definición de parábola ( 1 ) + ( 1 ) = ( ) + ( ) Fórmula de distancia ( ) + ( ( )) = ( ) + ( ) Sustitue por 1, 1,,. ( + ) = + ( ) Simplifica. ( + ) = + ( ) Eleva cada lado al cuadrado. + + = = Desarrolla. Combina los términos semejantes. = 1 8 Divide cada lado entre 8. Monitoreo del progreso Auda en inglés español en BigIdeasMath.com 1. Utiliza la Fórmula de distancia para escribir una ecuación de la parábola con foco F(, 3) directriz = 3. = 3 D(, 3) F(, 3) P(, ) 1 Capítulo 3 Funciones cuadráticas

26 ANALIZAR RELACIONES MATEMÁTICAS Observa que = 1 p es de la forma = a. Entonces, cambiar el valor de p alarga o encoge la parábola verticalmente. CONSEJO DE ESTUDIO Observa que las parábolas que se abren a la izquierda o a la derecha no representan funciones. ( 1, ) = 1 Puedes derivar la ecuación de una parábola que se abre hacia arriba o hacia abajo con vértice (, ), foco (, p) directriz = p usando el procedimiento del Ejemplo 1. F(, p) = p ( ) + ( ( p)) = ( ) + ( p) ( + p) = + ( p) + p + p = + p + p p = = 1 p El foco la directriz acen ambos a una distancia de p unidades del vértice. Las parábolas también se pueden abrir hacia la izquierda o hacia la derecha, en cuo caso la ecuación tiene la forma = 1 p cuando el vértice es (, ). Concepto Esencial Ecuaciones estándar de una parábola con vértice en el origen Eje vertical de simetría ( = ) Ecuación: = 1 p Foco: (, p) Directriz: = p Eje horizontal de simetría ( = ) Ecuación: = 1 p Foco: (p, ) Directriz: = p D(, p) P(, ) foco: (, p) directriz: = p vértice: (, ) directriz: foco: = p (, p) p > p < directriz: = p foco: (p, ) vértice: (, ) foco: (p, ) vértice: (, ) p > p < vértice: (, ) directriz: = p Hacer una gráfica de una ecuación de una parábola Identifica el foco, la directriz el eje de simetría de =. Haz una gráfica de la ecuación. SOLUCIÓN Paso 1 Reescribe la ecuación en forma estándar. = Escribe la ecuación original. = 1 Divide cada lado entre. Paso Identifica el foco, la directriz el eje de simetría. La ecuación tiene la forma = 1 p, donde p = 1. El foco es (p, ), o ( 1, ). La directriz es = p, o = 1. Dado que está elevada al cuadrado, el eje de simetría es el eje. Paso 3 Usa una tabla de valores para hacer una gráfica de la ecuación. Observa que es más fácil sustituir los valores por resolver para hallar. Los valores opuestos del eje dan como resultado el mismo valor en el eje. ±1.5 ± 1 ±3.5 ± Sección 3.3 Foco de una parábola 11

27 directriz vértice Escribir ecuaciones de parábolas Escribir una ecuación de una parábola Escribe una ecuación de la parábola que se muestra. SOLUCIÓN Dado que el vértice está en el origen el eje de simetría es vertical, la ecuación tiene la forma = 1 p. La directriz es = p = 3, Entonces p = 3. Sustitue 3 por p para escribir una ecuación de la parábola. 1 = ( 3) = 1 1 Entonces, una ecuación de la parábola es = 1 1. Monitoreo del progreso Auda en inglés español en BigIdeasMath.com Identifica el foco, la directriz el eje de simetría de la parábola. Luego, haz una gráfica de la ecuación.. =.5 3. =. = 6 Escribe una ecuación de la parábola con vértice en (, ) la directriz o foco dados. 5. directriz: = 3 6. foco: (, ) 7. foco: (, 3 ) El vértice de una parábola no siempre está en el origen. Como sucedió en transformaciones anteriores, añadir un valor a la entrada o salida de una función traslada su gráfica. CONSEJO DE ESTUDIO La forma estándar de un eje de simetría vertical se parece a la forma de vértice. Para recordar la forma estándar de un eje de simetría vertical, intercambia, h k. Concepto Esencial Ecuaciones estándar de una parábola con vértice en (h, k) Eje de simetría vertical ( = h) Ecuación: = 1 p ( h) + k Foco: (h, k + p) Directriz: = k p Parábola: abre hacia arriba (p > ) o hacia abajo (p < ) Eje de simetría horizontal ( = k) Ecuación: = 1 p ( k) + h Foco: (h + p, k) Directriz: = h p Parábola: abre hacia la derecha (p > ) o hacia la izquierda (p < ) = k p = k = h (h, k + p) (h, k) = k p (h, k) (h, k + p) = h p > p < = h p (h, k) (h + p, k) (h, k) (h + p, k) = h p p > p < = k 1 Capítulo 3 Funciones cuadráticas

28 Escribir una ecuación de una parábola trasladada Escribe una ecuación de la parábola que se abre hacia la derecha, cuo vértice (6, ) está a cuatro unidades del foco. 8 vértice foco 1 16 SOLUCIÓN Dibuja la parábola. El vértice (h, k) es (6, ), p =. Dado que el vértice no está en el origen que el eje de simetría es horizontal, la ecuación tiene la forma = 1 ( k) + h. Sustitue por h, k p para escribir una ecuación de la parábola. p = 1 () ( ) + 6 = 1 16 ( ) + 6 Entonces, una ecuación de la parábola es = 1 16 ( ) + 6. Resolver problemas de la vida real Los reflectores parabólicos tienen cortes transversales que son parábolas. Foco Foco El sonido entrante, la luz o cualquier otra energía que llega a un reflector parabólico en paralelo al eje de simetría es dirigido al foco (Diagrama 1). Diagrama 1 Diagrama En forma similar, la energía que se emite desde el foco de un reflector parabólico luego impacta al reflector es dirigida en paralelo al eje de simetría (Diagrama ). motor 8.5 m.5 m Resolver un problema de la vida real Una reflector parabólico que genera electricidad concentra la luz del sol en un motor de alta frecuencia ubicado en el foco del reflector. La luz del sol calienta helio a 65ºC para alimentar el motor. Escribe una ecuación que represente el corte transversal del reflector parabólico que se muestra con su vértice en (, ). Cuál es la profundidad del reflector parabólico? SOLUCIÓN Dado que el vértice está en el origen el eje de simetría es vertical, la ecuación tiene la forma = 1 p. El motor está en el foco, que está.5 metros sobre el vértice. Entonces, p =.5. Sustitue.5 por p para escribir la ecuación. 1 = (.5) = 1 18 La profundidad de la antena parabólica es el valor de en el borde eterior de la antena. La antena se etiende 8.5 =.5 metros a ambos lados del vértice (, ), entonces halla cuando =.5. = 1 18 (.5) 1 La profundidad de la antena es de aproimadamente 1 metro. Monitoreo del progreso Auda en inglés español en BigIdeasMath.com 8. Escribe una ecuación de una parábola con vértice ( 1, ) foco ( 1, ). 9. Una antena de microondas parabólica tiene 16 pies de diámetro. Escribe una ecuación que represente el corte transversal de la antena con su vértice en (, ) su foco a 1 pies a la derecha del vértice. Cuál es la profundidad de la antena? Sección 3.3 Foco de una parábola 13

29 3.3 Ejercicios Soluciones dinámicas disponibles en BigIdeasMath.com Verifi cación de vocabulario concepto esencial 1. COMPLETAR LA ORACIÓN Una parábola es el conjunto de todos los puntos en un plano que son equidistantes a un punto fijo llamado una recta fija llamada.. ESCRIBIR Eplica cómo hallar las coordenadas del foco de una parábola con vértice en (, ) directriz = 5. Monitoreo del progreso Representar con matemáticas En los Ejercicios 3 1, Utiliza la fórmula de distancia para escribir una ecuación de la parábola. (Consulta el Ejemplo 1). En los Ejercicios 13, identifica el foco, la directriz el eje de simetría de la parábola. Haz una gráfica de la ecuación. (Consulta el Ejemplo ). 3.. D(, ) 13. = = 1 1 F(, 1) = 1 P(, ) D(, 1) = P(, ) 15. = = = = =. 8 = F(, ) 5. foco: (, ) 6. directriz: = 7 directriz: = foco: (, 7) 7. vértice: (, ) 8. vértice: (, ) directriz: = 6 foco: (, 5) 9. vértice: (, ) 1. vértice: (, ) foco: (, 1) directriz: = ANALIZAR RELACIONES Cuál de las características dadas describe las parábolas que se abren hacia abajo? Eplica tu razonamiento. A foco: (, 6) B foco: (, ) directriz: = 6 directriz: = C foco: (, 6) D foco: (, 1) directriz: = 6 directriz: = 1 1. RAZONAR Cuál de las siguientes son posibles coordenadas del punto P en la gráfica que se muestra? Eplica. F(, 9) V(, ) A ( 6, 1) B ( 3, 1 ) C (, D ( 1, 1 36 ) E (6, 1) F (, 1 1 Capítulo 3 Funciones cuadráticas P(, ) 9 ) 18 ) ANÁLISIS DE ERRORES En los Ejercicios 1, describe corrige el error cometido al hacer la gráfica de la parábola = 8 (, 1.5).5 + = =.5 = 1.5 (.5, ) 3. ANALIZAR ECUACIONES El corte transversal (con unidades en pulgadas) de una antena parabólica se puede representar mediante la ecuación = Cuán lejos está el receptor del vértice del corte transversal? Eplica.

30 . ANALIZAR ECUACIONES El corte transversal (con unidades en pulgadas) de un reflector parabólico se puede representar mediante la ecuación = 1. Cuán lejos está la bombilla del vértice del corte transversal? Eplica. En los Ejercicios 37 38, escribe una ecuación de la parábola que se muestra foco 1 vértice foco vértice 1 1 En los Ejercicios 5 8, escribe una ecuación de la parábola que se muestra. (Consulta el Ejemplo 3). 5. = 8 vértice directriz vértice 5 = En los Ejercicios 9 36, escribe una ecuación de la parábola con las características dadas. 9. foco: (3, ) 3. foco: ( 3, ) directriz: = 3 directriz: = directriz: = 1 3. directriz: = 8 3 vértice: (, ) vértice: (, ) 33. foco: (, 5 3 ) 3. foco: (, 5 ) directriz = directriz 3 = vértice directriz: = 5 3 directriz: = foco: (, 6 7 ) 36. foco: ( 5, ) vértice: (, ) vértice: (, ) directriz vértice En los Ejercicios 39, escribe una ecuación de la parábola con las características dadas. (Consulta el Ejemplo ). 39. se abre hacia abajo; vértice ( 1, 3) está a dos unidades del foco. se abre hacia la derecha; vértice (, ) está a una unidad de la directriz 1. eje de simetría: = ; el foco está a 8 unidades sobre la directriz = 1. foco: ( 7, ); directriz: = 3 En los Ejercicios 3 8, identifica el vértice, el foco, la directriz el eje de simetría de la parábola. Describe las transformaciones la gráfica de la ecuación estándar con p = 1 vértice (, ). 3. = 1 8 ( 3) +. = 1 ( + ) = 1 16 ( 3) = ( + 3) 5 7. = 3( + ) + 8. = ( + 5) 1 9. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS Los científicos que estudian la ecolocalización de los delfines simulan, usando modelos de computadora, la proección de los chasquidos que emiten los delfines nariz de botella. Los modelos originan los chasquidos en el foco de un reflector parabólico. La parábola en la gráfica muestra el corte transversal del reflector con una longitud de foco de 1.3 pulgadas un ancho de apertura de 8 pulgadas. Escribe una ecuación para representar el corte transversal del reflector. Cuál es la profundidad del reflector? (Consulta el Ejemplo 5). F longitud de foco apertura Sección 3.3 Foco de una parábola 15

31 5. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS La energía solar se puede concentrar usando artesas largas que tiene un corte transversal parabólico como se muestra en la figura. Escribe una ecuación para representar el corte transversal de la artesa. Cuáles son el dominio el rango en esta situación? Qué representan? 53. PENSAMIENTO CRÍTICO La distancia del punto P a la directriz es unidades. Escribe una ecuación de la parábola. 5.8 m P(, 1) V(, ) 1.7 m 51. RAZONAMIENTO ABSTRACTO Al aumentar p, Cómo cambia el ancho de la gráfica de la ecuación = 1 p? Eplica tu razonamiento. 5. CÓMO LO VES? La gráfica muestra la traectoria de una pelota de voleibol servida desde una altura inicial de 6 pies mientras pasa sobre una red. A 5. ESTIMULAR EL PENSAMIENTO Dos parábolas tienen el mismo foco (a, b) una longitud focal de unidades. Escribe una ecuación de cada parábola. Identifica la directriz de cada parábola. 55. RAZONAMIENTO REPETIDO Utiliza la fórmula de distancia para derivar la ecuación de una parábola que se abre hacia la derecha con vértice (, ), foco (p, ) directriz = p. = p F(p, ) D( p, ) P(, ) B C a. Rotula el vértice, foco un punto en la directriz. b. Un saque de antebrazos sigue la misma traectoria parabólica pero se golpea desde una altura de 3 pies. Cómo afecta esto al foco? Y a la directriz? 56. RESOLVER PROBLEMAS El latus rectum de una parábola es el segmento de recta que es paralelo a la directriz, pasa por el foco tiene etremos que acen en la parábola. Halla la longitud del latus rectum de la parábola que se muestra. A latus rectum F(, ) V(, ) B = Mantener el dominio de las matemáticas Escribe una ecuación de la recta que pasa por los puntos. (Sección 1.6) Repasar lo que aprendiste en grados lecciones anteriores 57. (1, ), (, 1) 58. ( 3, 1), (, 6) 59. (3, 1), ( 5, 5) 6. (, 1), (, 1) Utiliza una calculadora gráfica para encontrar una ecuación para la línea de mejor ajuste. (Sección 1.6) Capítulo 3 Funciones cuadráticas

32 A..A A..E A.8.A A.8.B A.8.C 3. CONOCIMIENTOS Y APTITUDES ESENCIALES TEXAS Representar con funciones cuadráticas Pregunta esencial Cómo puedes usar una función cuadrática para representar una situación de la vida real? Trabaja con un compañero. La gráfica muestra una función cuadrática de la forma P(t) = at + bt + c que aproima las ganancias anuales de una empresa, donde P(t) es la ganancia en el año t. a. Es el valor de a positivo, negativo o cero? Eplica. b. Escribe una epresión en términos de a b que represente el año t cuando la empresa obtuvo la menor ganancia. Representar con una función cuadrática Utilidad anual (dólares) P P(t) = at + bt + c Año t c. La empresa tuvo las mismas ganancias anuales en 1. Estima el año en el que la empresa obtuvo la menor ganancia. d. Presupón que el modelo todavía es válido ho en día. Actualmente, las ganancias anuales están aumentando, disminuendo o son constantes? Eplica. Representar con una calculadora gráfica Trabaja con un compañero. La tabla a continuación muestra las alturas h (en pies) de una llave inglesa t segundos después de que se ha dejado caer desde un edificio en construcción. Tiempo, t 1 3 Altura, h APLICAR LAS MATEMÁTICAS Para dominar las matemáticas necesitas interpretar en forma rutinaria tus resultados en el conteto de la situación. a. Utiliza una calculadora gráfica para crear un diagrama de dispersión de los datos, como se muestra a la derecha. Eplica por qué los datos parecen ajustarse a un modelo cuadrático. b. Utiliza la función regresión cuadrática para hallar una representación cuadrática para los datos. c. Haz una gráfica de la función cuadrática en la misma pantalla que el diagrama de dispersión para verificar que se ajusta a los datos. d. Predice cuándo golpeará la llave inglesa el suelo? Eplica. 5 Comunicar tu respuesta 3. Cómo puedes usar una función cuadrática para representar una situación de la vida real?. Utiliza el internet o alguna otra referencia para hallar ejemplos de situaciones de la vida real que se puedan representar mediante funciones cuadráticas. Sección 3. Representar con funciones cuadráticas 17

33 3. Lección Qué aprenderás Vocabulario Esencial Anterior tasa promedio de cambio sistema de tres ecuaciones lineales Escribirás ecuaciones de funciones cuadráticas usando vértices, puntos e intersecciones con el eje. Escribirás ecuaciones cuadráticas para representar conjuntos de datos. Escribir ecuaciones cuadráticas Concepto Esencial Escribir ecuaciones cuadráticas Dado un punto el vértice (h, k) Dado un punto las intersecciones del eje, p q Dados tres puntos Usa la forma de vértice: = a( h) + k Usa la forma de intersección: = a( p)( q) Escribe resuelve un sistema de tres ecuaciones en tres variables. Escribir una ecuación usando un vértice un punto Altura (pies) 3 1 Cañón humano (,15) (5, 35) 6 8 Distancia horizontal (pies) La gráfica muestra la traectoria parabólica de un artista lanzado desde un cañón, donde es la altura (en pies) es la distancia horizontal recorrida (en pies). Escribe una ecuación de la parábola. El artista aterriza en una red a 9 pies del cañón. Cuál es la altura de la red? SOLUCIÓN En la gráfica, puedes ver que el vértice (h, k) es (5, 35) la parábola pasa por el punto (, 15). Usa el vértice el punto para resolver a en forma de vértice. = a( h) + k Forma de vértice 15 = a( 5) + 35 Sustitue por h, k,. = 5a Simplifica..8 = a Divide cada lado entre 5. Dado que a =.8, h = 5, k = 35, la traectoria se puede representar por la ecuación =.8( 5) + 35, donde 9. Halla la altura si = 9. =.8(9 5) + 35 Sustitue 9 por. =.8(16) + 35 Simplifica. =. Simplifica. Entonces, la altura de la red es de aproimadamente pies. Monitoreo del progreso Auda en inglés español en BigIdeasMath.com 1. QUÉ PASA SI? El vértice de la parábola es (5, 37.5). Cuál es la altura de la red?. Escribe una ecuación de la parábola que pase por el punto ( 1, ) tenga un vértice (, 9). 18 Capítulo 3 Funciones cuadráticas

34 Escribir una ecuación usando un punto las intersecciones con el eje Temperatura ( C) Pronóstico de temperatura (, 9.6) 1 (, ) (, ) Horas después de la medianoche Un meteorólogo crea una parábola para predecir la temperatura mañana, donde es el número de horas después de la medianoche es la temperatura (en grados Celsius). a. Escribe una función f que represente la temperatura a lo largo del tiempo. Cuál es la temperatura más fría? b. Cuál es la tasa de cambio promedio de la temperatura durante el intervalo en el que la temperatura desciende? Y en el que la temperatura asciende? Compara las tasas de cambio promedio. SOLUCIÓN a. Las intersecciones con el eje son la parábola pasa por (, 9.6). Utiliza las intersecciones con el eje el punto para resolver a en forma de intersección. = a( p)( q) Forma de intersección 9.6 = a( )( ) Sustitue por p, q,. 9.6 = 96a Simplifica..1 = a Divide cada lado entre 96. Dado que a =.1, p =, q =, la temperatura a lo largo del tiempo se puede representar mediante f() =.1( )( ), donde. La temperatura más fría es el valor mínimo. Entonces, halla f() cuando = + = 1. f(1) =.1(1 )(1 ) Sustitue 1 por. RECUERDA La tasa de cambio promedio de una función f de 1 a es la pendiente de la recta que conecta ( 1, f( 1 )) (, f( )): f( ) f( 1 ). 1 = 1 Simplifica. Entonces, la temperatura más fría es 1 C a 1 horas después de la medianoche, o a las p.m. b. La parábola se abre hacia arriba el eje de simetría es = 1. Entonces, la función es descendente sobre el intervalo < < 1 ascendente sobre el intervalo 1 < <. Tasa de cambio promedio Tasa de cambio promedio sobre < < 1: sobre 1 < < : f(1) f() = = (, 9.6) 1 f() f(1) = ( 1) = (, ) 1 (1, 1) Dado que 1. > 1 ; la tasa promedio a la que la temperatura desciende desde la medianoche hasta las p.m. es maor que la tasa promedio a la que aumenta desde las p.m. hasta la medianoche. Monitoreo del progreso Auda en inglés español en BigIdeasMath.com 3. QUÉ PASA SI? La intersección con el eje es.8. Cómo cambia esto tus respuestas en las partes (a) (b)?. Escribe una ecuación de la parábola que pase por el punto (, 5) tenga como intersecciones con el eje. Sección 3. Representar con funciones cuadráticas 19

35 Escribir ecuaciones para representar datos Cuando los datos tienen entradas igualmente espaciadas, puedes analizar patrones en las diferencias de las salidas para determinar qué tipo de función se puede usar para representar los datos. Los datos lineales tienen primeras diferencias constantes. Los datos cuadráticos tienen segundas diferencias constantes. Las primeras las segundas diferencias de f() = se muestran a continuación. Valores igualmente espaciados f() primeras diferencias: segundas diferencias: Escribir una función cuadrática usando tres puntos Tiempo, t Altura, h 1 6,9 15 9,5 3,6 5 31,65 3 3,1 35 3,5 31, La NASA puede crear un entorno de ingravidez al volar un avión en traectorias parabólicas. La tabla muestra alturas h (en pies) de un avión t segundos tras iniciar la traectoria de vuelo. Después de aproimadamente.8 segundos, los pasajeros comienzan a eperimentar un entorno de ingravidez. Escribe evalúa una función para aproimar la altura a la que esto ocurre. SOLUCIÓN Paso 1 Los valores de entrada están espaciados equidistantemente. Entonces, analiza las diferencias en los valores de salida para determinar qué tipo de función puedes utilizar para representar los datos. h(1) h(15) h() h(5) h(3) h(35) h() 6,9 9,5 3,6 31,65 3,1 3,5 31, Dado que las segundas diferencias son constantes, puedes representar los datos con una función cuadrática. Paso Escribe una función cuadrática de la forma h(t) = at + bt + c que represente los datos. Usa cualquiera de los tres puntos (t, h) de la tabla para escribir un sistema de ecuaciones. Usa (1, 6,9): 1a + 1b + c = 6,9 Ecuación 1 Usa (, 3,6): a + b + c = 3,6 Ecuación Usa (3, 3,1): 9a + 3b + c = 3,1 Ecuación 3 Usa el método de eliminación para resolver el sistema. Resta la Ecuación 1 de la Ecuación. 3a + 1b = 37 Nueva Ecuación 1 Resta la Ecuación 1 de la Ecuación 3. 8a + b = 5 Nueva Ecuación Resta veces la nueva Ecuación 1 a = de la nueva Ecuación. a = 11 Resuelve para hallar a. b = 7 Sustitue en la nueva Ecuación 1 para hallar b. c = 1, Sustitue en la nueva Ecuación 1 para hallar c. 13 Capítulo 3 Funciones cuadráticas Los datos se pueden representar mediante la función h(t) = 11t + 7t + 1,. Paso 3 Evalúa la función si t =.8. h(.8) = 11(.8) + 7(.8) + 1, = 3,8.96 Los pasajeros comienzan a eperimentar un entorno de ingravidez a aproimadamente 3,8 pies.

36 Los datos de la vida real que muestran una relación cuadrática normalmente no tienen segundas diferencias constantes porque los datos no son eactamente cuadráticos. Las relaciones que son aproimadamente cuadráticas tienen segundas diferencias que están relativamente cerca en valor. Muchas herramientas tecnológicas tienen una función de regresión cuadrática que puedes usar para hallar la función cuadrática que represente mejor un conjunto de datos. Usar la regresión cuadrática Millas por hora, Millas por galón, CONSEJO DE ESTUDIO El coeficiente de determinación R muestra cuán bien se ajusta una ecuación a un conjunto de datos. Mientras más cerca está R de 1, mejor es el ajuste. La tabla muestra las eficiencias de combustible para un vehículo a diferentes velocidades. Escribe una función que represente los datos. Usa el modelo para aproimar la velocidad de conducción óptima. SOLUCIÓN Dado que los valores del eje no están espaciados equidistantemente, no puedes analizar las diferencias en las salidas. Usa una calculadora gráfica para hallar una función que represente los datos. Paso 1 Ingresa los datos en una calculadora gráfica usando dos listas crea un diagrama de dispersión. Los datos muestran una relación cuadrática. 35 Paso 3 Haz una gráfica de la ecuación de regresión con el diagrama de dispersión. En este conteto, la velocidad de conducción óptima es la velocidad en la cual el millaje por galón se maimiza. Usando la función máimo, puedes ver que el millaje máimo por galón es de aproimadamente 6. millas por galón al conducir a aproimadamente a 8.9 millas por hora. 75 Paso Usa la función de regresión cuadrática. Un modelo cuadrático que representa los datos es = RegCuad =a +b+c a= b= c= R = Entonces, la velocidad de conducción óptima es de aproimadamente 9 millas por hora. 35 Máimo X= Y= Monitoreo del progreso Auda en inglés español en BigIdeasMath.com 5. Escribe una ecuación de la parábola que pase por los puntos ( 1, ), (, 1), (, 7). 6. La tabla muestra las ganancias estimadas (en dólares) de un concierto cuando se cobra dólares por boleto. Escribe evalúa la función para determinar cuánto se debería cobrar por boleto para maimizar las ganancias. Precio del boleto, Ganancias, La tabla muestra los resultados de un eperimento que pone a prueba los pesos máimos (en toneladas) que aguanta el hielo de pulgadas de grosor. Escribe una función que represente los datos. Cuánto peso puede aguantar el hielo de pulgadas de grosor? Grosor del hielo, Peso máimo, Sección 3. Representar con funciones cuadráticas 131

37 3. Ejercicios Soluciones dinámicas disponibles en BigIdeasMath.com Verifi cación de vocabulario concepto esencial 1. ESCRIBIR Eplica cuándo es apropiado usar un modelo de función cuadrática para un conjunto de datos.. DISTINTAS PALABRAS, LA MISMA PREGUNTA Cuál es diferente? Halla ambas respuestas. Cuál es la tasa de cambio promedio sobre? Cuál es la distancia de f() a f()? f Cuál es la pendiente del segmento de recta? f() f() Qué es? Monitoreo del progreso Representar con matemáticas En los Ejercicios 3 8, escribe una ecuación de la parábola en forma de vértice. (Consulta el Ejemplo 1). 3. (, 6) 8 ( 1, 3) pasa por (13, 8) tiene vértice en (3, ) (8, 3) 8 (, 1) 6. pasa por ( 7, 15) tiene vértice en ( 5, 9) 7. pasa por (, ) tiene vértice en ( 6, 1) 8. pasa por (6, 35) tiene vértice en ( 1, 1) En los Ejercicios 9 1, escribe una ecuación de la parábola en forma de intersección. (Consulta el Ejemplo ). 9. (3, ) (, ) 8 (, ) 1. ( 1, ) (, ) (1, ) 15. ESCRIBIR Eplica cuándo usar la forma de intersección cuándo usar la forma de vértice al escribir una ecuación de una parábola. 16. ANALIZAR ECUACIONES Cuál de las siguientes ecuaciones representa la parábola? ( 1, ) A = ( )( + 1) B = ( +.5).5 C = (.5).5 D = ( + )( 1) (, ) (.5,.5) En los Ejercicios 17, escribe una ecuación de la parábola en forma de vértice o en forma de intersección Luz de bengala Nuevo juego 11. Intersecciones con el eje de 1 6; pasa por (1, ) 1. Intersecciones con el eje de 9 1; pasa por (, 18) 13. Intersecciones con el eje de 16 ; pasa por ( 18, 7) 1. Intersecciones con el eje de 7 3; pasa por (,.5) Altura (pies) 16 8 (3, 15) (1, 86) 6 Tiempo (segundos) Altura (pies) 16 8 (, 18) (1, 16) Tiempo (segundos) 13 Capítulo 3 Funciones cuadráticas

38 19. Salto humano. Altura (pies) (3,.5) (, ) (, ) Distancia (pies) 1. ANÁLISIS DE ERRORES Describe corrige el error cometido al escribir una ecuación de la parábola. ( 1, ) (3, ) (, ) = a( p)( q) = a(3 1)(3 + ) a = 5 = ( 1)( + ) 5. CONEXIONES MATEMÁTICAS El área de un rectángulo se representa por la gráfica donde es el área (en metros cuadrados) es el ancho (en metros). Escribe una ecuación de la parábola. Halla las dimensiones el área correspondiente de un posible rectángulo. Qué dimensiones dan como resultado el área máima? Área (metros cuadrados) Rectángulos 1 8 (1, 6) (, ) (7, ) 8 Ancho (metros) 3. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS Toda cuerda tiene una carga de trabajo segura. No se debería usar una cuerda para elevar un peso maor al de su carga de trabajo segura. La tabla muestra las cargas de trabajo seguras S (en libras) de cuerdas con circunferencia C (en pulgadas). Escribe una ecuación para la carga de trabajo segura de una cuerda que tiene una circunferencia de 1 pulgadas. (Consulta el Ejemplo 3). Circunferencia, C 1 3 Carga de trabajo segura, S Altura (pies) Salto de rana 1..5 (3, 1) ( 1, 5 9 ). Distancia (pies) REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS Se lanza una pelota de béisbol al aire. La tabla muestra las alturas (en pies) de la pelota de béisbol después de segundos. Escribe una ecuación de la traectoria de la pelota de béisbol. Halla la altura de la pelota después de 5 segundos. Tiempo, 6 Altura de la pelota de béisbol, COMPARAR MÉTODOS Usas un sistema de tres variables para hallar la ecuación de una parábola que pasa por los puntos ( 8, ), (, ) (1, ). Tu amigo usa la forma de intersección para hallar la ecuación. Quién usa el método más fácil? Justifica tu respuesta. 6. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS La tabla muestra las distancias a las que un motociclista está de su hogar después de horas. Tiempo (horas), 1 3 Distancia (millas), a. Determina qué tipo de función puedes usar para representar los datos. Eplica tu razonamiento. b. Escribe evalúa una función para determinar la distancia a la que el motociclista está de su hogar después de seis horas. 7. USAR HERRAMIENTAS La tabla muestra las alturas h (en pies) de una esponja t segundos después de que un limpiador de ventanas la deja caer desde lo alto de un rascacielos. (Consulta el Ejemplo ). Tiempo, t Altura, h a. Usa una calculadora gráfica para crear un diagrama de dispersión. Cuál representa mejor los datos, una recta o una parábola? Eplica. b. Usa la función de regresión de tu calculadora para hallar el modelo que se ajuste mejor a los datos. c. Usa el modelo en la parte (b) para predecir cuándo la esponja golpeará el suelo. d. Identifica e interpreta el dominio el rango en esta situación. 8. ARGUMENTAR Tu amigo dice que las funciones cuadráticas con las mismas intersecciones en el eje tienen las mismas ecuaciones, el mismo vértice el mismo eje de simetría. Es correcto lo que dice tu amigo? Eplica tu razonamiento. Sección 3. Representar con funciones cuadráticas 133

39 En los Ejercicios 9 3, analiza las diferencias en las salidas para determinar si los datos son lineales, cuadráticos o ninguno. Eplica. Si son lineales o cuadráticos, escribe una ecuación que se ajuste a los datos. 3. ESTIMULAR EL PENSAMIENTO Describe una situación de la vida real que se pueda representar mediante una ecuación cuadrática. Justifica tu respuesta Disminución de precio (dólares), Ingresos (cada $1), Tiempo (horas), 1 3 Altura (pies), 6 8 Tiempo (horas), Población (centenas), Tiempo (días), 1 3 Altura (pies), RESOLVER PROBLEMAS La tabla muestra las alturas de un esquiador acuático competitivo segundos después de saltar desde una rampa. Escribe una función que represente la altura del esquiador acuático con el tiempo. Cuándo está el esquiador acuático a 5 pies sobre el agua? Cuánto tiempo está el esquiador en el aire? Tiempo (segundos), Altura (pies), CÓMO LO VES? Utiliza la gráfica para determinar si la tasa de cambio promedio sobre cada intervalo es positiva, negativa o cero RESOLVER PROBLEMAS La gráfica muestra el número de estudiantes ausentes de la escuela debido a la gripe cada día. Número de estudiantes (, 1) Epidemia de gripe (6, 19) Días 6 6 a. b. 5 c. d. 37. RAZONAMIENTO REPETIDO La tabla muestra el número de fichas en cada figura. Verifica que los datos muestren una relación cuadrática. Predice el número de fichas en la duodécima figura. a. Interpreta el significado del vértice en esta situación. b. Escribe una ecuación de la parábola para predecir el número de estudiantes ausentes el día 1. c. Compara las tasas de cambio promedio en los estudiantes con gripe desde el día hasta el día 6 desde el día 6 hasta el día 11. Figura 1 Figura Figura 3 Figura Figura 1 3 Número de fichas Mantener el dominio de las matemáticas Factoriza el trinomio. (Manual de revisión de destrezas) Repasar lo que aprendiste en grados lecciones anteriores Capítulo 3 Funciones cuadráticas

40 Qué aprendiste? Vocabulario Esencial foco, pág. 1 directriz, pág. 1 Conceptos Esenciales Sección 3.3 Ecuaciones estándar de una parábola con vértice en el origen, pág. 11 Ecuaciones estándar de una parábola con vértice en (h, k), pág. 1 Sección 3. Escribir ecuaciones cuadráticas, pág. 18 Escribir ecuaciones cuadráticas para representar datos, pág. 13 Razonamiento matemático 1. Eplica el método de solución que utilizaste para resolver el Ejercicio 9 de la página 15.. Eplica cómo usaste las definiciones para derivar la ecuación en el Ejercicio 55 de la página Eplica el método abreviado que hallaste para escribir la ecuación en el Ejercicio 5 de la página Describe cómo pudiste construir un argumento viable en el Ejercicio 8 de la página 133. Tarea de desempeño Reconstruccion de un accidente El conductor de un automóvil iba a una velocidad ecesiva cuando frenó? Qué revelan las huellas de patinazo en la escena de un accidente sobre de los momentos anteriores a la colisión? Para eplorar las respuestas a estas preguntas más, visita BigIdeasMath.com. ` 135

41 3 Repaso del capítulo Soluciones dinámicas disponibles en BigIdeasMath.com 3.1 Transformaciones de funciones cuadráticas (págs ) Imagina que la gráfica de g es una traslación 1 unidad hacia la izquierda unidades hacia arriba de la función f() = + 1. Escribe una regla para g. g() = f( ( 1)) + Resta 1 de la entrada. Suma a la salida. = ( + 1) Reemplaza con + 1 en g(). = + + Simplifica. La función transformada es g() = + +. Describe la transformación de f() = representada por g. Luego haz una gráfica de cada función. 1. g() = ( + ). g() = ( 7) + 3. g() = 3( + ) 1 Escribe una regla para g.. Imagina que g es un encogimiento horizontal por un factor de, seguida de una traslación 3 5 unidades hacia la izquierda unidades hacia debajo de la gráfica de f() =. 5. Imagina que g es una traslación unidades hacia la izquierda 3 unidades hacia arriba, seguida por una refleión en el eje de la gráfica de f() =. 3. Características de las funciones cuadráticas (págs ) Haz una gráfica de f() = Rotula el vértice el eje de simetría. Paso 1 Identifica los coeficientes: a =, b = 8, c = 1. Dado que a >, la parábola se abre hacia arriba. Paso Halla el vértice. Primero calcula la coordenada. = = b a = 8 () = Luego halla la coordenada del vértice. f() = () 8() + 1 = 7 Entonces, el vértice es (, 7). Marca este punto. 6 Paso 3 Dibuja el eje de simetría =. (, 7) Paso Identifica la intersección con el eje c, que es 1. Marca el punto (, 1) su refleión en el eje de simetría, (, 1). Evalúa la función para otro valor de, tal como = 1. f(1) = (1) 8(1) + 1 = 5 Marca el punto (1, 5) su refleión en el eje de simetría, (3, 5). Paso 5 Dibuja una parábola por los puntos trazados. 6 Haz una gráfica de la función. Indica el vértice el eje de simetría. Halla el valor mínimo o máimo de f. Describe dónde la función es ascendente descendente. 6. f() = 3( 1) 7. g() = h() = ( 3)( + 7) 136 Capítulo 3 Funciones cuadráticas

42 3.3 Foco de una parábola (págs ) a. Identifica el foco, la directriz el eje de simetría de 8 =. Haz una gráfica de la ecuación. Paso 1 Reescribe la ecuación en forma estándar 8 = Escribe la ecuación original. = 1 8 Divide cada lado entre 8. Paso Identifica el foco, la directriz el eje de simetría. La ecuación tiene la forma = 1 p, donde p =. El foco es (p, ), o (, ). La directriz es = p, o =. Dado que está elevada al cuadrado, el eje de simetría es el eje. Paso 3 Utiliza una tabla de valores para hacer una gráfica de la ecuación. Observa que es más fácil sustituir los valores de resolver por. ± ± ±6.5.5 = 8 (, ) 8 b. Escribe una ecuación de la parábola que se abre hacia arriba, cuo vértice (, 3) esta a una unidad del foco. Dibuja la parábola. El vértice (h, k) es (, 3) p = 1. Dado que el vértice no está en el origen el eje de simetría es vertical, la ecuación tiene la forma = 1 p ( h) + k. Sustitue por h, k, p para escribir una ecuación de la parábola. 1 = (1) ( ) + 3 = 1 ( ) + 3 Una ecuación de la parábola es = 1 ( ) foco vértice 6 9. Puedes hacer una cocina solar de salchichas dando forma de parábola a un cartón recubierto de papel de aluminio pasando un alambre por el foco de las piezas de cada etremo. Para la figura que se muestra, a que distancia del fondo deberá ubicarse el alambre? 1 pulg 1. Haz una gráfica de la ecuación 36 =. Identifica el foco, la directriz el eje de simetría. pulg Escribe una ecuación de la parábola con las características ticas dadas. 11. se abre hacia la izquierda; el vértice (, ) 1. foco: (, ) está a dos unidades de la directriz vértice: (, 6) Capítulo 3 Repaso del capítulo 137

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